벤포드의 법칙

3. 설명

어떤 숫자 집합에서 첫째 자리 숫자 $d$ ($d\; \backslash in\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; 9\backslash \}$)가 다음 확률 분포를 따를 때, 이 집합이 벤포드의 법칙을 따른다고 한다.

:$P(d)\; =\; \backslash log\_\{10\}(d+1)\; -\; \backslash log\_\{10\}(d)\; =\; \backslash log\_\{10\}\backslash bigg(\backslash frac\{d+1\}\{d\}\backslash bigg)\; =\; \backslash log\_\{10\}\backslash bigg(1+\backslash frac\; 1\; d\; \backslash bigg)$^[20]

이 법칙에 따르면, 첫째 자리 숫자의 분포는 다음과 같다.

이는 숫자의 ''로그'' 값이 균등하고 무작위로 분포될 때 예상되는 분포이다. 예를 들어 1부터 10 사이의 숫자 x에서, x가 1 ≤ x < 2 이면 첫째 자리는 1이고, 9 ≤ x < 10 이면 첫째 자리는 9이다. log x의 관점에서 보면, [log 1, log 2] 구간이 [log 9, log 10] 구간보다 훨씬 넓기 때문에, log x가 균등 분포를 따르면 첫째 자리가 1일 확률이 9일 확률보다 더 높다.

벤포드의 법칙은 십진법 외의 다른 기수에도 적용된다. 일반적인 형태는 다음과 같다.^[9]

:$P(d)\; =\; \backslash log\_b(d\; +\; 1)\; -\; \backslash log\_b(d)\; =\; \backslash log\_b\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{d\}\backslash right).$

(단, b는 2 이상의 정수)

벤포드의 법칙은 여러 자릿수에 걸쳐 있는 데이터에 가장 정확하게 적용된다. 예를 들어, 영국의 정착지 인구는 벤포드의 법칙을 따를 가능성이 높지만, 인구가 300~999명 사이인 마을로 정의하면 벤포드의 법칙이 적용되지 않을 수 있다.^[13][14]

3. 1. 로그 스케일에서의 분포 폭

P(d)는 로그 눈금에서 d와 d + 1 사이의 공간에 비례한다. 그러므로 이것은 숫자가 아니라, 숫자의 로그가 균등하고 무작위로 분포될 경우 예상되는 분포이다.

예를 들어, 1과 10 사이에 있도록 제한된 숫자 x는 1 ≤ x < 2이면 숫자 1로 시작하고, 9 ≤ x < 10이면 숫자 9로 시작한다. 따라서, x는 log 1 ≤ log x < log 2이면 숫자 1로 시작하고, log 9 ≤ log x < log 10이면 9로 시작한다. 구간 [log 1, log 2]는 구간 [log 9, log 10]보다 훨씬 넓다(각각 0.30과 0.05). 그러므로 만약 log x가 균등하고 무작위로 분포되어 있다면, 더 넓은 구간에 속할 가능성이 더 좁은 구간에 속할 가능성보다 훨씬 높다. 즉, 9보다 1로 시작할 가능성이 더 높으며, 확률은 구간 너비에 비례하며, 위 식을 제공한다.

보다 형식적으로 기술하면, 밑이 b (b ≥ 2)일 때 첫째 자릿수 d (d ∈ {1, …, b - 1})의 출현 확률은, P(d) = log_b (d + 1) - log_b d = log_b ((d + 1)/d)라는 식을 따른다. 이 값은 엄밀히 로그 스케일에서 d와 d + 1 사이의 공간과 같다.

밑이 10인 경우 (십진수), 벤포드의 법칙에 따르면 첫째 자릿수의 분포는 다음과 같다. (d는 첫째 자릿수, p는 확률)

위에 제시된 두 그림은 로그 스케일에 나타낸 두 개의 확률 분포이다.^[76] 두 그림 모두, 빨간색으로 표시된 부분의 면적이 첫째 자리가 1일 확률에 비례하고, 파란색으로 표시된 부분의 면적이 첫째 자리가 8일 확률에 비례한다.

왼쪽 분포에서는 빨간색과 파란색 영역의 면적비가 대략 각 폭의 비와 같아진다. 폭의 비는 보편적이며, 벤포드의 법칙에 의해 엄밀하게 주어진다. 따라서 이러한 확률 분포를 따르는 수치는 대개 벤포드의 법칙을 따른다.

반면, 오른쪽 분포에서는 빨간색과 파란색 영역의 면적비가 그 폭의 비에서 크게 벗어난다. 오른쪽 그림에서도 폭의 비는 왼쪽 분포와 동일하다. 빨간색과 파란색 영역의 면적비는 그 폭보다는 오히려 높이의 비에 의존하여 결정된다. 폭과 달리 높이는 벤포드의 법칙에 보편적인 관계를 만족시키지 않는다. 대신 그 수치의 분포 형태에 의해 완전히 결정된다. 따라서 첫째 자릿수의 분포는 벤포드의 법칙을 전혀 만족시키지 않는다.

보다 일반적으로, 소득의 분포나 시/군/구의 인구 분포 등, 여러 자릿수의 범위에서 상당히 부드럽게 퍼져 있는 분포는 위 왼쪽 그림처럼 벤포드의 법칙을 잘 만족시킨다. 반면, 성인의 신장이나 IQ 수치 등 1자리 또는 2자리의 범위에서만 분포하는 것은 위 오른쪽 그림처럼 벤포드의 법칙을 잘 만족시키지 않는다.^[77]

3. 2. 지수적 성장 과정

3. 3. 스케일 불변성

값은 로그 눈금에서 와 사이의 공간에 비례한다. 그러므로 이것은 숫자가 아니라, 숫자의 ''로그''가 균등하고 무작위로 분포될 경우 예상되는 분포이다.

벤포드의 법칙은 때때로 더 강력한 형태로 언급되는데, 데이터의 로그의 소수 부분이 일반적으로 0과 1 사이에서 균등하게 분포된다고 주장하며, 이를 통해 첫 번째 자릿수의 분포에 대한 주요 주장을 도출할 수 있다.^[5]

벤포드의 법칙을 확장하면 십진법 외의 다른 기수에서 첫 번째 숫자의 분포를 예측할 수 있다. 실제로 b ≥ 2 인 모든 기수에서 성립한다. 일반적인 형태는 다음과 같다.^[9]

:$P(d)\; =\; \backslash log\_b(d\; +\; 1)\; -\; \backslash log\_b(d)\; =\; \backslash log\_b\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{d\}\backslash right).$

b = 1, 2 ( 일진법, 이진법) 숫자 체계의 경우 벤포드의 법칙은 참이지만 자명하다. 모든 이진수와 일진수(0 또는 공집합 제외)는 숫자 1로 시작한다.

데이터 집합의 첫 번째 숫자 분포가 스케일 불변성(데이터가 표현되는 단위와 무관)일 때, 항상 벤포드의 법칙에 의해 주어진다.^[28][29]

예를 들어, 길이 목록의 첫 번째 (영이 아닌) 숫자는 측정 단위가 피트 또는 야드인지에 관계없이 동일한 분포를 가져야 한다. 1 야드는 3 피트이므로, 야드 단위 길이의 첫 번째 숫자가 1일 확률은 피트 단위 길이의 첫 번째 숫자가 3, 4 또는 5일 확률과 같아야 한다. 마찬가지로, 야드 단위 길이의 첫 번째 숫자가 2일 확률은 피트 단위 길이의 첫 번째 숫자가 6, 7 또는 8일 확률과 같아야 한다. 이를 모든 가능한 측정 규모에 적용하면 벤포드의 법칙의 로그 분포가 된다.

첫 번째 숫자에 대한 벤포드의 법칙은 숫자 체계에 대해 기수 불변이다.

만약 실제로 첫 번째 자릿수의 숫자가 특정 분포를 보인다면, 측정 단위를 변경하더라도 마찬가지로 특정 분포를 나타내야 한다. 예를 들어, 길이 측정값을 피트에서 야드로 상수를 곱하여 변경하더라도 분포는 불변해야 한다. 이것은 스케일 불변성이며, 이러한 조건을 만족하는 유일한 분포가 로그 분포이다.

어떤 물체의 길이 또는 거리 등의 첫 번째 자릿수 (0 제외)는, 측정 단위가 피트나 야드 또는 다른 무엇이든, 동일한 분포를 가져야 한다. 1 야드는 3 피트이므로, 야드로 측정된 길이의 첫 번째 자릿수가 1일 확률은, 피트로 측정된 길이의 첫 번째 자릿수가 3, 4, 5 중 하나일 확률과 같아야 한다. 이를 모든 측정 단위에 대해 동일하게 생각하면 로그 분포가 되며, log₁₀(1) = 0과 log₁₀(10) = 1임을 고려하면 벤포드의 법칙이 된다. 즉, 첫 번째 자릿수에 특정 분포가 있다면, 이는 어떤 측정 단위가 사용되든 적용될 수 있어야 하며, 그러한 조건에 적합한 유일한 첫 번째 자릿수 분포가 벤포드의 법칙이다.

3. 4. 다중 확률 분포

위 표에서 수량 는 로그 눈금에서 $d$와 $d+1$ 사이의 공간에 비례한다. 그러므로 이것은 숫자가 아니라, 숫자의 ''로그''가 균등하고 무작위로 분포될 경우 예상되는 분포이다.

예를 들어, 1과 10 사이에 있도록 제한된 숫자 $x$는 이면 숫자 1로 시작하고, 이면 숫자 9로 시작한다. 따라서, $x$는 이면 숫자 1로 시작하고, 이면 9로 시작한다. 구간 $[\backslash log\; 1,\; \backslash log\; 2]$는 구간 $[\backslash log\; 9,\; \backslash log\; 10]$보다 훨씬 넓다(각각 0.30과 0.05). 그러므로 만약 $\backslash log\; x$가 균등하고 무작위로 분포되어 있다면, 더 넓은 구간에 속할 가능성이 더 좁은 구간에 속할 가능성보다 훨씬 높다. 즉, 9보다 1로 시작할 가능성이 더 높으며, 확률은 구간 너비에 비례하며, 위 식을 제공한다.

벤포드의 법칙은 때때로 데이터의 로그의 소수 부분이 일반적으로 0과 1 사이에서 균등하게 분포된다고 주장하며, 이를 통해 첫 번째 자릿수의 분포에 대한 주요 주장을 도출할 수 있다.^[5]

벤포드의 법칙은 여러 자릿수에 걸쳐있는 데이터에 가장 정확하게 적용되는 경향이 있다. 일반적으로, 데이터가 더 많은 자릿수를 균등하게 포함할수록 벤포드의 법칙은 더 정확하게 적용된다. 예를 들어, 벤포드의 법칙은 영국의 정착지 인구를 나타내는 숫자 목록에 적용될 것으로 예상할 수 있다. 하지만 "정착지"가 인구 300명에서 999명 사이의 마을로 정의된다면, 벤포드의 법칙은 적용되지 않을 것이다.^[13][14]

따라서 여러 자릿수에 걸쳐 비교적 균일하게 분포하는 실제 데이터 (예: 주식 시장 가격 및 마을, 읍, 도시의 인구)는 벤포드의 법칙을 매우 정확하게 만족시킬 가능성이 높다. 반면에, 대부분 또는 전체가 한 자릿수 내에 있는 분포 (예: IQ 점수 또는 성인 인간의 키)는 벤포드의 법칙을 매우 정확하게, 혹은 전혀 만족시키지 못할 가능성이 높다.^[13][14] 그러나 적용 가능한 범위와 적용 불가능한 범위 간의 차이는 날카로운 경계가 아니다. 분포가 좁아질수록 벤포드의 법칙에서 벗어나는 정도가 점차 증가한다.

벤포드의 법칙의 많은 실제 사례는 곱셈 변동에서 비롯된다.^[22] 예를 들어, 주가가 100달러에서 시작하여 매일 0.99에서 1.01 사이의 무작위로 선택된 요인으로 곱해진다면, 오랜 기간 동안 주가 확률 분포는 점점 더 높은 정확도로 벤포드의 법칙을 만족한다.

그 이유는 주가의 ''로그''가 확률보행을 겪고 있기 때문에 시간이 지남에 따라 확률 분포가 점점 더 넓고 매끄러워지기 때문이다.^[22] (더 기술적으로 말하면, 중심 극한 정리는 점점 더 많은 확률 변수를 곱하면 분산이 커지는 로그 정규 분포가 생성되므로 결국 거의 균일하게 여러 자릿수를 커버한다고 말한다.)

곱셈 변동과 달리 ''덧셈'' 변동은 벤포드의 법칙으로 이어지지 않는다. 대신 정규 분포로 이어진다 (다시 중심 극한 정리에 의해). 이는 벤포드의 법칙을 만족하지 않는다. 반대로 위에 설명된 가상의 주가는 많은 확률 변수의 ''곱'' (즉, 각 날짜의 가격 변동 요인)으로 쓸 수 있으므로 벤포드의 법칙을 상당히 잘 따를 ''가능성''이 있다.

안톤 포르만(Anton Formann)은 유효 숫자의 확률 분포와 종속 변수의 분포 사이의 상호 관련성에 주목함으로써 다른 설명을 제시했다. 그는 시뮬레이션 연구에서 확률 변수의 긴 오른쪽 꼬리 분포가 뉴컴-벤포드의 법칙과 일치하며, 두 확률 변수의 비율 분포의 경우 적합성이 일반적으로 향상된다는 것을 보여주었다.^[23] 특정 분포 (IQ 점수, 인간 신장)에서 추출된 숫자의 경우 벤포드의 법칙이 적용되지 않는데, 이러한 변량은 벤포드의 법칙을 만족하지 않는 것으로 알려진 정규 분포를 따르기 때문이다.^[24] 정규 분포는 여러 자릿수를 포괄할 수 없으며, 로그의 가수가 (대략적으로라도) 균일하게 분포하지 않기 때문이다. 그러나 이러한 분포에서 숫자를 "혼합"하면, 예를 들어 신문 기사에서 숫자를 가져오면 벤포드의 법칙이 다시 나타난다. 이것은 수학적으로도 증명할 수 있다. 즉, (상관 관계가 없는 집합에서) 반복적으로 확률 분포를 "무작위로" 선택한 다음 해당 분포에 따라 숫자를 무작위로 선택하면 결과 숫자 목록이 벤포드의 법칙을 따른다.^[25][26]

4. 적용과 제한

벤포드의 법칙은 다양한 분야에 적용되지만, 특정한 경우에는 적용되지 않거나 제한될 수 있다.

• 회계 부정 탐지: 1972년 할 배리언은 공공 계획 결정 지원을 위해 제출된 사회 경제 데이터에서 조작된 수치를 탐지하는 데 벤포드의 법칙을 사용할 수 있다고 제안했다. 숫자를 조작하는 사람들은 숫자를 비교적 균등하게 분포시키는 경향이 있으므로, 데이터의 첫 번째 숫자 빈도 분포와 벤포드의 법칙에 따른 예상 분포를 비교하면 이상한 결과를 발견할 수 있다.^[32]
• 선거 부정 탐지: 월터 메베인은 선거 분석에 두 번째 자릿수 벤포드의 법칙 검사(2BL-test)를 처음으로 적용했다.^[34] 그러나 벤포드의 법칙을 선거에 적용하는 것에 대한 과학적 합의는 이루어지지 않았다.^[35][36][37]
• 기타:
• 미국에서는 벤포드의 법칙에 근거한 증거가 형사 사건에서 증거로 채택되기도 했다.^[33]
• 유로존 가입 전 그리스 정부가 유럽 연합에 보고한 거시 경제 데이터가 벤포드의 법칙에 따라 사기일 가능성이 제기되었다.^[47][48]
• 오픈 리딩 프레임 수와 게놈 크기의 관계, 출판된 논문의 회귀 계수, 슬로베니아 과학자들의 논문 수 등 다양한 연구에서 벤포드의 법칙이 확인되었다.^[50][51][52]

• 데이터 범위: 벤포드의 법칙은 여러 자릿수에 걸쳐 있는 데이터에 가장 잘 적용된다. 데이터 범위가 좁으면 법칙이 적용되지 않을 수 있다. 예를 들어, 특정 인구 범위로 제한된 마을 인구는 벤포드의 법칙을 따르지 않을 수 있다.^[13][14]
• 분포 형태: 실제 데이터는 종류에 따라 수치 분포 방식이 왜곡되어 벤포드의 법칙을 만족하지 않는 경우가 있다.
• 특정 값 배제: 특정 값이 정의에 의해 배제되는 경우 (예: 인구 300~999명의 마을) 벤포드의 법칙을 적용할 수 없다.
• 벤포드의 법칙을 따를 것으로 예상되는 분포:
• 평균이 중앙값보다 크고 왜도가 양수인 경우
• 수의 수학적 결합 (예: 수량 × 가격)
• 거래 수준 데이터 (예: 지출, 판매)
• 벤포드의 법칙을 따르지 않을 것으로 예상되는 분포:
• 순차적으로 할당된 숫자 (예: 수표 번호)
• 인간의 사고에 영향을 받는 숫자 (예: 심리적 임계값으로 설정된 가격)
• 회사별 숫자가 많은 계정
• 내장된 최소 또는 최대값을 가진 계정
• 수의 차수가 범위를 벗어나는 분포
• 기타: 연속된 자연수의 제곱근과 역수,^[64] 유한 범위 내의 소수,^[65] 지역 전화번호 목록,^[66] 특정 인구 범위로 제한된 지역의 인구,^[64] 병리 보고서의 마지막 숫자^[67] 등은 벤포드의 법칙을 따르지 않거나 위반한다.

4. 1. 회계 부정 탐지

4. 2. 선거 부정 탐지

4. 3. 기타 응용

4. 4. 제한

• 평균이 중앙값보다 크고 왜도가 양수인 경우
• 수의 수학적 결합으로 생성된 숫자: 예를 들어, 수량 × 가격
• 거래 수준 데이터: 예를 들어, 지출, 판매

• 숫자가 순차적으로 할당되는 경우: 예를 들어, 수표 번호, 송장 번호
• 인간의 사고에 의해 숫자가 영향을 받는 경우: 예를 들어, 심리적 임계값으로 설정된 가격 (9.99달러)
• 회사별 숫자가 많은 계정: 예를 들어, 100달러 환불을 기록하기 위해 설정된 계정
• 내장된 최소 또는 최대값을 가진 계정
• 수의 차수가 범위를 벗어나는 분포

5. 첫 번째 자릿수 이후의 일반화

어떤 숫자 집합에서 첫째 자리 숫자 ''d'' (''d'' ∈ {1, ..., 9})가 다음 확률 분포를 따를 때, 이 집합이 벤포드의 법칙을 따른다고 한다.^[20]

:$P(d)\; =\; \backslash log\_\{10\}(d\; +\; 1)\; -\; \backslash log\_\{10\}(d)\; =\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(\backslash frac\{d\; +\; 1\}\{d\}\backslash right)\; =\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{d\}\backslash right).$

이러한 숫자 집합에서 각 첫째 자리 숫자의 분포는 아래 표와 같다.

벤포드의 법칙은 첫째 자리 숫자를 넘어, 임의의 자릿수 ''n''으로 시작하는 숫자의 확률 분포로 확장될 수 있다.^[71]

:$\backslash log\_\{10\}(n\; +\; 1)\; -\; \backslash log\_\{10\}(n)\; =\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right).$

예를 들어, "314"로 시작하는 숫자를 만날 확률은 $\backslash log\_\{10\}(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{314\})$이다.

이 결과를 이용하면 특정 위치에서 특정 숫자가 나타날 확률을 계산할 수 있다. 예를 들어, 두 번째 자리에 "2"가 나타날 확률은 다음과 같다.^[71]

:$\backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{12\}\backslash right)\; +\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{22\}\backslash right)\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{92\}\backslash right)\; \backslash approx\; 0.109.$

일반적으로, ''d'' (''d'' = 0, 1, ..., 9)가 ''n''번째 (''n'' > 1) 숫자로 나타날 확률은 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{k=10^\{n-2\}\}^\{10^\{n-1\}-1\}\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{10k\; +\; d\}\backslash right).$

''n''이 증가함에 따라 ''n''번째 숫자의 분포는 각 숫자에 대해 10%의 균일 분포에 빠르게 수렴한다.^[71] 4자릿수만 되어도 "0"은 10.0176%, "9"는 9.9824%로 나타나 균일 분포에 근접한다.

아래는 1, 2, 3번째 자리 숫자의 분포를 나타낸 표이다.

벤포드의 법칙은 십진법 외의 다른 기수법에도 적용될 수 있다.^[9] 기수 ''b'' (''b'' ≥ 2)인 모든 기수에서 일반적인 형태는 다음과 같다.

:$P(d)\; =\; \backslash log\_b(d\; +\; 1)\; -\; \backslash log\_b(d)\; =\; \backslash log\_b\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{d\}\backslash right).$

1진법 및 2진법의 경우 벤포드의 법칙은 모든 수(0 또는 공집합 제외)가 1로 시작하므로 성립하지만, 자명하다. 그러나 두 번째 숫자 이후에는 이진법에서도 자명하지 않다.^[10]

실제 벤포드의 법칙을 활용할 때는 두 번째 자릿수 이후도 함께 사용한다.^[81]

6. 역사

벤포드의 법칙은 1881년 캐나다계 미국인 천문학자 사이먼 뉴컴이 처음 발견했다. 뉴컴은 로그 표에서 1로 시작하는 앞 페이지가 다른 페이지보다 훨씬 더 닳아 있다는 것을 발견했다.^[11] 이는 뉴컴이 발표한 최초의 관찰 사례이며, 두 번째 숫자에 대한 분포도 포함하고 있다. 뉴컴은 숫자 ''N''이 숫자의 첫 번째 자릿수가 될 확률이 log(''N'' + 1) − log(''N'')과 같다는 법칙을 제안했다.

1938년 물리학자 프랭크 벤포드는 이 현상을 다시 언급하며,^[7] 20개의 서로 다른 영역의 데이터를 사용하여 검증하고 공로를 인정받았다. 벤포드의 데이터 세트는 다음과 같다.

이 발견은 나중에 벤포드의 이름을 따서 명명되었으며, 이는 스티글러의 법칙의 한 예이다.

1995년, 테드 힐은 아래에 언급된 혼합 분포에 대한 결과를 증명했다.^[25][12]

7. 통계적 검정

카이제곱 검정은 벤포드의 법칙 준수 여부를 검사하는 데 사용되었지만, 표본 크기가 작을 때는 통계적 검정력이 낮다.

콜모고로프-스미르노프 검정과 카이퍼 검정은 표본 크기가 작을 때, 특히 스티븐스의 보정 계수를 사용할 때 더 강력하다.^[53] 이러한 검정은 이산 분포에 적용할 때 지나치게 보수적일 수 있다. Morrow는 벤포드 검정 값을 생성했다.^[54] 검정 통계량의 임계값은 다음과 같다.

이러한 임계값은 주어진 유의 수준에서 벤포드의 법칙 준수 가설을 기각하는 데 필요한 최소 검정 통계량 값을 제공한다.

이 법칙에 특정한 두 가지 대안 검정이 발표되었다. 먼저, 최대 ($m$) 통계량^[55]은 다음과 같다.

:$m\; =\; \backslash sqrt\{N\}\; \backslash cdot\; \backslash max\_\{k=1\}^9\; \backslash left\backslash \{\backslash left|\backslash Pr\backslash left(X\; \backslash text\{\; has\; FSD\}\; =\; k\backslash right)\; -\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)\backslash right|\backslash right\backslash \}.$

선행 계수 $\backslash sqrt\{N\}$는 Leemis의 원래 공식에는 나타나지 않으며,^[55] 이후 Morrow가 논문에서 추가했다.^[54]

둘째, 거리 ($d$) 통계량^[56]은 다음과 같다.

:$d\; =\; \backslash sqrt\{N\; \backslash cdot\; \backslash sum\_\{l=1\}^9\; \backslash left[\backslash Pr\backslash left(X\; \backslash text\{\; has\; FSD\}\; =\; l\backslash right)\; -\; \backslash log\_\{10\}\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{l\}\backslash right)\backslash right]^2\},$

여기서 FSD는 첫 번째 유효 숫자이고, $N$은 표본 크기이다. Morrow는 이 두 통계량의 임계값을 결정했으며, 이는 다음과 같다.^[54]

Morrow는 임의 변수 $X$ (연속 PDF)를 표준 편차 ($\backslash sigma$)로 나눈 경우, 임의 변수 $|X/\backslash sigma|^A$의 첫 번째 유효 숫자의 분포 확률이 벤포드의 법칙과 $\backslash epsilon$ > 0보다 작게 다르게 되도록 하는 일부 값 $A$를 찾을 수 있음을 보여주었다.^[54] $A$의 값은 $\backslash epsilon$의 값과 임의 변수의 분포에 따라 달라진다.

부트스트래핑 및 회귀를 기반으로 하는 회계 사기 탐지 방법이 제안되었다.^[57]

벤포드의 법칙과의 일치를 결론짓는 것이 목표라면, 위에서 언급한 적합도 검정은 부적절하다. 이 경우 특정 동등성 검정을 적용해야 한다. 경험적 분포는 확률 질량 함수 간의 거리(예: 총 변동 거리 또는 일반적인 유클리드 거리)가 충분히 작으면 벤포드의 법칙과 동등하다고 한다. 벤포드의 법칙에 적용하여 이러한 검사 방법은 Ostrovski에 설명되어 있다.^[58]

8. 적용 범위

벤포드의 법칙은 여러 자릿수에 걸쳐있는 데이터에 가장 정확하게 적용되는 경향이 있다. 데이터가 더 많은 자릿수를 균등하게 포함할수록 벤포드의 법칙은 더 정확하게 적용된다. 예를 들어, 영국의 정착지 인구를 나타내는 숫자 목록에는 벤포드의 법칙이 적용될 수 있지만, 인구 300명에서 999명 사이의 마을로 정의된 "정착지"에는 적용되지 않는다.^[13][14]

실제 데이터가 여러 자릿수에 걸쳐 비교적 균일하게 분포하는 경우(예: 주식 시장 가격, 마을 인구) 벤포드의 법칙을 매우 정확하게 만족시킬 가능성이 높다. 반면, 대부분 한 자릿수 내에 있는 분포(예: IQ 점수, 성인 키)는 벤포드의 법칙을 따르지 않을 가능성이 높다.^[13][14]

벤포드의 법칙은 곱셈 변동에서 비롯되는 경우가 많다.^[22] 예를 들어, 주가가 매일 무작위 요인으로 곱해지면 오랜 기간 동안 벤포드의 법칙을 만족하는 경향이 있다. 주가의 ''로그''가 확률보행을 겪으며, 중심 극한 정리에 따라 분포가 넓어지기 때문이다.^[22] 반면 덧셈 변동은 정규 분포로 이어져 벤포드의 법칙을 만족하지 않는다.

안톤 포르만은 확률 변수의 긴 오른쪽 꼬리 분포가 뉴컴-벤포드의 법칙과 일치하며, 두 확률 변수의 비율 분포에서 적합성이 향상된다는 연구 결과를 제시했다.^[23] IQ 점수나 인간 신장과 같은 정규 분포를 따르는 변량은 벤포드의 법칙을 따르지 않지만,^[24] 여러 분포에서 숫자를 "혼합"하면 벤포드의 법칙이 다시 나타날 수 있다.^[25][26]

길이 목록에서 첫 번째 숫자의 분포는 측정 단위(미터, 야드, 피트 등)에 관계없이 일반적으로 비슷할 수 있다. 이는 화폐 단위에도 적용된다. 그러나 성인 키와 같이 특정 범위로 제한되는 경우에는 단위에 따라 첫 번째 숫자의 분포가 달라질 수 있다. 데이터 집합의 첫 번째 숫자의 분포가 스케일 불변성을 가지면 벤포드의 법칙이 적용된다.^[28][29]

몇몇 무한 정수 수열(피보나치 수,^[59][60] 계승,^[61] 2의 거듭제곱^[62][63] 등)과 지수 성장 또는 지수 감소 과정은 벤포드의 법칙을 정확히 만족하는 것으로 증명되었다.

회계 데이터에 벤포드의 법칙을 적용할 때 고려해야 할 기준은 다음과 같다.^[69]

수학적으로, 벤포드의 법칙은 테스트 중인 분포가 "벤포드의 법칙 적합성 정리"에 부합하는 경우, 즉 확률 밀도 함수의 로그의 푸리에 변환이 모든 정수 값에 대해 0일 경우 적용된다.

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